Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным , оно является равноускоренным .

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1 . Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2 . При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T - это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение - это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено - это есть период T . Путь , который преодолевает точка - это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v A и v B соответственно. Ускорение - изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Время, в течение которого совершается одно полное изме­нение ЭДС, то есть один цикл колебания или один полный оборот радиуса-вектора, называется периодом колебания пере­менного тока (рисунок 1).

Рисунок 1. Период и амплитуда синусоидального колебания. Период - время одного колебания; Аплитуда - его наибольшее мгновенное значение.

Период выражают в секундах и обозначают буквой Т .

Так же используются более мелкие единицы измерения периода это миллисекунда (мс)- одна тысячная секунды и микросекунда (мкс)- одна миллионная секунды.

1 мс =0,001сек =10 -3 сек.

1 мкс=0,001 мс = 0,000001сек =10 -6 сек.

1000 мкс = 1 мс.

Число полных изменений ЭДС или число оборотов ради­уса-вектора, то есть иначе говоря, число полных циклов колеба­ний, совершаемых переменным током в течение одной секунды, называется частотой колебаний переменного тока .

Частота обо­значается буквой f и выражается в периодах в секунду или в герцах.

Одна тысяча герц называется килогерцом (кГц), а миллион герц - мегагерцом (МГц). Существует так же единица гигагерц (ГГц) равная одной тысячи мегагерц.

1000 Гц = 10 3 Гц = 1 кГц;

1000 000 Гц = 10 6 Гц = 1000 кГц = 1 МГц;

1000 000 000 Гц = 10 9 Гц = 1000 000 кГц = 1000 МГц = 1 ГГц;

Чем быстрее происходит изменение ЭДС, то есть чем бы­стрее вращается радиус-вектор, тем меньше период колебания Чем быстрее вращается радиус-вектор, тем выше частота. Таким образом, частота и период переменного тока являются величинами, обратно пропорциональными друг другу. Чем больше одна из них, тем меньше другая.

Математическая связь между периодом и частотой переменного тока и напряжения выра­жается формулами

Например, если частота тока равна 50 Гц, то период будет равен:

Т = 1/f = 1/50 = 0,02 сек.

И наоборот, если известно, что период тока равен 0,02 сек, (T=0,02 сек.), то частота будет равна:

f = 1/T=1/0,02 = 100/2 = 50 Гц

Частота переменного тока, используемого для освещения и промышленных целей, как раз и равна 50 Гц.

Частоты от 20 до 20 000 Гц называются звуковыми часто­тами. Токи в антеннах радиостанций колеблются с частотами до 1 500 000 000 Гц или, иначе говоря, до 1 500 МГц или 1,5 ГГц. Такие вы­сокие частоты называются радиочастотами или колебаниями высокой частоты.

Наконец, токи в антеннах радиолокационных станций, станций спутниковой связи, других спецсистем (например ГЛАНАСС, GPS) колеблются с частотами до 40 000 МГц (40 ГГц) и выше.

Амплитуда переменного тока

Наибольшее значение, которого достигает ЭДС или сила тока за один период, называется амплитудой ЭДС или силы переменного тока . Легко заметить, что амплитуда в масштабе равна длине радиуса-вектора. Амплитуды тока, ЭДС и напряжения обозначаются соответственно бук­вами Im, Em и Um (рисунок 1).

Угловая (циклическая) частота переменного тока.

Скорость вращения радиуса-вектора, т. е. изменение ве­личины угла поворота в течение одной секунды, называется угловой (циклической) частотой переменного тока и обозначается греческой буквой ? (оме­га). Угол поворота радиуса-вектора в любой данный момент относительно его начального положения измеряется обычно не в градусах, а в особых единицах - радианах.

Радианом называется угловая величина дуги окружности, длина которой равна радиусу этой окружности (рисунок 2). Вся окружность, составляющая 360°, равна 6,28 радиан, то есть 2.

Рисунок 2.

1рад = 360°/2

Следовательно, конец радиуса-вектора в течение одного периода пробегают путь, равный 6,28 радиан (2). Так как в тече­ние одной секунды радиус-вектор совершает число оборотов, равное частоте переменного тока f , то за одну секунду его ко­нец пробегает путь, равный 6,28 * f радиан. Это выражение, характеризующее скорость вращения радиуса-вектора, и будет угловой частотой переменного тока - ? .

? = 6,28*f = 2f

Угол поворота радиуса-вектора в любое данное мгновение относительно его начального положения называется фазой переменного тока . Фаза характеризует величину ЭДС (или тока) в данное мгновение или, как говорят, мгновенное значение ЭДС, ее направление в цепи и направление ее изменения; фаза пока­зывает, убывает ли ЭДС или возрастает.

Рисунок 3.

Полный оборот радиуса-вектора равен 360°. С началом но­вого оборота радиуса-вектора изменение ЭДС происходит в том же порядке, что и в течение первого оборота. Следова­тельно, все фазы ЭДС будут повторяться в прежнем поряд­ке. Например, фаза ЭДС при повороте радиуса-вектора на угол в 370° будет такой же, как и при повороте на 10°. В обо­их этих случаях радиус-вектор занимает одинаковое положе­ние, и, следовательно, мгновенные значения ЭДС будут в обоих этих случаях одинаковыми по фазе.

Гармонические колебания – колебания, совершаемые по законам синуса и косинуса. На следующем рисунке представлен график изменения координаты точки с течением времени по закону косинуса.

картинка

Амплитуда колебаний

Амплитудой гармонического колебания называется наибольшее значение смещения тела от положения равновесия. Амплитуда может принимать различные значения. Она будет зависеть от того, насколько мы сместим тело в начальный момент времени от положения равновесия.

Амплитуда определяется начальными условиями, то есть энергией сообщаемой телу в начальный момент времени. Так как синус и косинус могут принимать значения в диапазоне от -1 до 1, то в уравнении должен присутствовать множитель Xm, выражающий амплитуду колебаний. Уравнение движения при гармонических колебаниях:

x = Xm*cos(ω0*t).

Период колебаний

Период колебаний – это время совершения одного полного колебания. Период колебания обозначается буквой Т. Единицы измерения периода соответствуют единицам времени. То есть в СИ - это секунды.

Частота колебаний – количество колебаний совершенных в единицу времени. Частота колебаний обозначается буквой ν. Частоту колебаний можно выразить через период колебания.

ν = 1/Т.

Единицы измерения частоты в СИ 1/сек. Эта единица измерения получила название Герца. Число колебаний за время 2*pi секунд будет равняться:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Частота колебаний

Данная величина называется циклической частотой колебаний. В некоторой литературе встречается название круговая частота. Собственная частота колебательной системы – частота свободных колебаний.

Частота собственных колебаний рассчитывается по формуле:

Частота собственных колебаний зависит от свойств материала и массы груза. Чем больше жесткость пружины, тем больше частота собственных колебаний. Чем больше масса груза, тем меньше частота собственных колебаний.

Эти два вывода очевидны. Чем более жесткая пружина, тем большее ускорение она сообщит телу, при выведении системы из равновесия. Чем больше масса тела, тем медленнее будет изменяться это скорость этого тела.

Период свободных колебаний :

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Примечателен тот факт, что при малых углах отклонения период колебания тела на пружине и период колебания маятника не будут зависеть от амплитуды колебаний.

Запишем формулы периода и частоты свободных колебаний для математического маятника.

тогда период будет равен

T = 2*pi*√(l/g).

Данная формула будет справедлива лишь для малых углов отклонения. Из формулы видим, что период колебаний возрастает с увеличением длины нити маятника. Чем больше будет длина, тем медленнее тело будет колебаться.

От массы груза период колебаний совершенно не зависит. Зато зависит от ускорения свободного падения. При уменьшении g, период колебаний будет увеличиваться. Данное свойство широко используют на практике. Например, для измерения точного значения свободного ускорения.

Важный физический параметр, необходимый для решения многих задач акустики и радиоэлектроники. Ее можно высчитать несколькими способами, в зависимости от того, какие параметры заданы. Удобнее всего это делать, зная частоту или период и скорость распространения.

Формулы

Основная формула, которая отвечает на вопрос о том, как найти длину волны через частоту, представлена ниже:

Здесь l - длина волны в метрах, v - скорость ее распространения в м/c, u - линейная частота в герцах.

Поскольку частота связана с периодом обратным соотношением, предыдущее выражение можно записать иначе:

Т - период колебаний в секундах.

Можно выразить этот параметр через циклическую частоту и фазовую скорость:

l = 2pi*v/w

В этом выражении w - циклическая частота, выраженная в радианах за секунду.

Частота волны через длину, как можно заметить из предыдущего выражения, находится следующим образом:

Рассмотрим электромагнитную волну, которая распространяется в веществе с n. Тогда частота волны через длину выражается следующим отношением:

Если она распространяется в вакууме, то n = 1, и выражение приобретает следущий вид:

В последней формуле частота волны через длину выражается с помощью константы с - скорости света в вакууме, с = 300000 км/c.

Функция ЧАСТОТА используется для определения количества вхождения определенных величин в заданный интервал и возвращает данные в виде массива значений. Используя функцию ЧАСТОТА, мы узнаем, как посчитать частоту в Excel.

Пример использования функции ЧАСТОТА в Excel

Пример 1. Студенты одной из групп в университете сдали экзамен по физике. При оценке качества сдачи экзамена используется 100-бальная система. Для определения окончательной оценки по 5-бальной системе используют следующие критерии:

1. От 0 до 50 баллов – экзамен не сдан.
2. От 51 до 65 баллов – оценка 3.
3. От 66 до 85 баллов – оценка 4.
4. Свыше 86 баллов – оценка 5.

Для статистики необходимо определить, сколько студентов получили 5, 4, 3 баллов и количество тех, кому не удалось сдать экзамен.

Внесем данные в таблицу:

Для решения выделим области из 4 ячеек и введем следующую функцию:

Описание аргументов:

• B3:B20 – массив данных об оценках студентов;
• D3:D5 – массив критериев нахождения частоты вхождений в массиве данных об оценках.

Выделяем диапазон F3:F6 жмем сначала клавишу F2, а потом комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter, чтобы функция ЧАСТОТА была выполнена в массиве. Подтверждением того что все сделано правильно будут служить фигурные скобки {} в строке формул по краям. Это значит, что формула выполняется в массиве. В результате получим:

То есть, 6 студентов не сдали экзамен, оценки 3, 4 и 5 получили 3, 4 и 5 студентов соответственно.



Пример определения вероятности используя функцию ЧАСТОТА в Excel

Пример 2. Известно то, что если существует только два возможных варианта развития событий, вероятности первого и второго равны 0,5 соответственно. Например, вероятности выпадения «орла» или «решки» у подброшенной монетки равны ½ и ½ (если пренебречь возможностью падения монетки на ребро). Аналогичное расчетное распределение вероятностей характерно для следующей функции СЛУЧМЕЖДУ(1;2), которая возвращает случайное число в интервале от 1 до 2. Было проведено 20 вычислений с использованием данной функции. Определить фактические вероятности появления чисел 1 и 2 соответственно на основании полученных результатов.

Заполним исходную таблицу случайными значениями от 1-го до 2-ух:

Для определения случайных значений в исходной таблице была использована специальная функция:

СЛУЧМЕЖДУ(1;2)

Для определения количества сгенерированных 1 и 2 используем функцию:

ЧАСТОТА(A2:A21;1)

Описание аргументов:

• A2:A21 – массив сгенерированных функцией =СЛУЧМЕЖДУ(1;2) значений;
• 1 – критерий поиска (функция ЧАСТОТА ищет значения от 0 до 1 включительно и значения >1).

В результате получим:

Вычислим вероятности, разделив количество событий каждого типа на общее их число:

Для подсчета количества событий используем функцию =СЧЁТ($A$2:$A$21). Или можно просто разделить на значение 20. Если заранее не известно количество событий и размер диапазона со случайными значениями, тогда можно использовать в аргументах функции СЧЁТ ссылку на целый столбец: =СЧЁТ(A:A). Таким образом будет автоматически подсчитывается количество чисел в столбце A.

Вероятности выпадения «1» и «2» - 0,45 и 0,55 соответственно. Не забудьте присвоить ячейкам E2:E3 процентный формат для отображения их значений в процентах: 45% и 55%.

Теперь воспользуемся более сложной формулой для вычисления максимальной частоты повторов:

Формулы в ячейках F2 и F3 отличаются только одним лишь числом после оператора сравнения «не равно»: <>1 и <>2.

Интересный факт! С помощью данной формулы можно легко проверить почему не работает стратегия удвоения ставок в рулетке казино. Данную стратегию управления ставками в азартных играх называют еще Мартингейл. Дело в том, что количество случайных повторов подряд может достигать 18-ти раз и более, то есть восемнадцать раз подряд красные или черные. Например, если ставку в 2 доллара 18 раз удваивать – это уже более пол миллиона долларов «просадки». Это уже провал по любым техникам планирования рисков. Так же следует учитывать, что кроме «черные» и «красные» иногда выпадает еще и «зеро», что окончательно уничтожает все шансы. Так же интересно, что сумма всех чисел в рулетке от 0 до 36 равна 666.

Как посчитать неповторяющиеся значения в Excel?

Пример 3. Определить количество уникальных вхождений в массив числовых данных, то есть не повторяющихся значений.

Исходная таблица:

Определим искомую величину с помощью формулы:

В данном случае функция ЧАСТОТА выполняет проверку наличия каждого из элементов массива данных в этом же массиве данных (оба аргумента совпадают). С помощью функции ЕСЛИ задано условие, которое имеет следующий смысл:

1. Если искомый элемент содержится в диапазоне значений, вместо фактического количества вхождений будет возвращено 1;
2. Если искомого элемента нет – будет возвращен 0 (нуль).

Полученное значение (количество единиц) суммируется.

В результате получим:

То есть, в указанном массиве содержится 8 уникальных значений.

Функция ЧАСТОТА в Excel и особенности ее синтаксиса

Данная функция имеет следующую синтаксическую запись:

Описание аргументов функции (оба являются обязательными для заполнения):

• массив_данных – данные в форме массива либо ссылка на диапазон значений, для которых необходимо определить частоты.
• массив_интервалов - данные в формате массива либо ссылка не множество значений, в которые группируются значения первого аргумента данной функции.

Примечания 1:

1. Если в качестве аргумента массив_интервалов был передан пустой массив или ссылка на диапазон пустых значений, результатом выполнения функции ЧАСТОТА будет являться число элементов, входящих диапазон данных, которые были переданы в качестве первого аргумента.
2. При использовании функции ЧАСТОТА в качестве обычной функции Excel будет возвращено единственное значение, соответствующее первому вхождению в массив_интервалов (то есть, первому критерию поиска частоты вхождения).
3. Массив возвращаемых данной функцией элементов содержит на один элемент больше, чем количество элементов, содержащихся в массив_интервалов. Это происходит потому, что функция ЧАСТОТА вычисляет также количество вхождений величин, значения которых превышают верхнюю границу интервалов. Например, в наборе данных 2,7, 10, 13, 18, 4, 33, 26 необходимо найти количество вхождений величин из диапазонов от 1 до 10, от 11 до 20, от 21 до 30 и более 30. Массив интервалов должен содержать только их граничные значения, то есть 10, 20 и 30. Функция может быть записана в следующем виде: =ЧАСТОТА({2;7;10;13;18;4;33;26};{10;20;30}), а результатом ее выполнения будет столбец из четырех ячеек, которые содержат следующие значения: 4,2, 1, 1. Последнее значение соответствует количеству вхождений чисел > 30 в массив_данных. Такое число действительно является единственным – это 33.
4. Если в состав массив_данных входят ячейки, содержащие пустые значения или текст, они будут пропущены функцией ЧАСТОТА в процессе вычислений.

Примечания 2:

1. Функция может использоваться для выполнения статистического анализа, например, с целью определения наиболее востребованных для покупателей наименований продукции.

ЧАСТОТА(массив_данных;массив_интервалов)

2. Данная функция должна быть использована как формула массива, поскольку возвращаемые ей данные имеют форму массива. Для выполнения обычных формул после их ввода необходимо нажать кнопку Enter. В данном случае требуется использовать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.